31,8

+ 0 -

Julia2705

06 янв. 2014 г., 15:24:29 (10 лет назад)

дано

M,m,R,r,g

----------------

ω - ?

решение

1- большой груз

2-малый груз

используем закон сохранения энергии

обычно за нулевой уровень отсчета берется земная поверхность

выберем за нулевой уровень плоскость ,проходящую через ось  О

стержень в горизонтальном состоянии  -  полная механическая энергия системы  Е=0

стержень отпустили -он повернулся вертикально

в вертикальном  положении  скорости грузов    v1,v2

большой груз опустился вниз  - полная энергия  E1=Ek1 - En1

малый груз поднялся вверх  - полная энергия  E2=Ek2 + En2

полная механическая энергия  E=Ek1 - En1 +Ek2 +En2 =0   (1)

Ek1=Mv1^2/2

En1=gMR

Ek2=mv2^2/2

En2=gmr

подставим  в уравнение (1)

Mv1^2/2 - gMR + mv2^2/2 + gmr =0  

1/2 (Mv1^2+ mv2^2) - g (MR-mr) =0

1/2 (Mv1^2+ mv2^2)  = g (MR-mr)

(Mv1^2+ mv2^2)  = 2g (MR-mr)   (2)

так как грузы закреплены на стержне жестко

угловая скорость вращения одинаковая

период  движения грузов по окружности  одинаковый

T1=T2=T   ;  2πR /v1 =2πr /v2 ;  v2 =v1*r/R

подставим  v2   в  (2)

(Mv1^2+ m(v1*r/R)^2)  = 2g (MR-mr)  

(Mv1^2+ mv1^2*(r/R)^2)  = 2g (MR-mr)  

v1^2 (M+ m*(r/R)^2)  = 2g (MR-mr)  

v1^2 /R^2 (MR^2+ mr^2)  = 2g (MR-mr)  

v1^2 /R^2 = 2g (MR-mr)   / (MR^2+ mr^2)   - по известной формуле  v=ωR - подставим

(ωR)^2/R^2 = 2g (MR-mr)   / (MR^2+ mr^2)   

ω^2 = 2g (MR-mr)   / (MR^2+ mr^2)   

ω =  √  [ 2g(MR-mr) /(MR^2+ mr^2) ]

ОТВЕТ   ω =  √  [ 2g(MR-mr) /(MR^2+ mr^2) ]

**также, как в ответе   

+ 0 -

Tsuptsup2010

06 янв. 2014 г., 17:25:05 (10 лет назад)

найти  w - угловую  скорость

можно решить через моменты

вращательные моменты  

G1=gMR

G2=gmr

G=G1-G2=gMR-gmr=g(MR-mr)

моменты инерции

J1=MR^2

J2=mr^2

J=MR^2+mr^2=MR^2+mr^2

угловое ускорение 

ε = G/J =g(MR-mr) / (MR^2+mr^2) = g (MR-mr)  / (MR^2+mr^2)

угловое ускорение - это производная от угловой скорости

первообразная  от  ε = 1/2*w^2

1/2*w^2 =  g (MR-mr)  / (MR^2+mr^2)

w^2 =  2g (MR-mr)  / (MR^2+mr^2)

w = √ ( 2(MR-mr)g /(MR^2+mr^2) )