кузнечный молот массой 5т падает с высоты 5м на стальную наковальню массой 500кг.Сколько раз надо ударить молотом о наковальню,что бы ее температура

+ 0 -

Михаил2003

04 мая 2015 г., 6:59:01 (8 лет назад)

На первый взгляд задачка достаточно простая, но, как оказалось, только на первый. И всё дело, как всегда, в неточной формулировке, а именно во фразе "отдаёт 20% полученной".

Не уточнено, что значит "полученной" и возможны два разных толкования

1. полученной от ПОСЛЕДНЕГО удара.

2. полученной от ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ударов.

И 1 и 2 процессы физически непротиворечивы, НО совершенно разные процессы, во втором случае, понятно, остывание происходит значительно быстрее и потребуется больше ударов.

Поэтому для полного решения задачи необходимо рассматривать эти 2 случая.

Будем решать в общем виде, потом подставим значения.

Пусть

m = 5000кг - масса молота

H  = 5м        - высота молота

M  = 500кг   - масса наковальни

q  = 500       - удельная теплоёмкость наковальни

t    = 100      - разность температур, которой нужно достичь

p1 = 50%=0.5 - процент энергии идущий на нагревание наковальни

p2 =80% =0.8 - процент энергии, который ОСТАЁТСЯ до следующего удара.

Случай 1.

ОСТАЁТСЯ в смысле "от энергии, полученной от последнего удара" 

В этом случае всё просто.

Полная энергия молота m*g*H,

Наковальне при каждом ударе передаётся p1*m*g*H = E1

и до следующего удара в ней остаётся p2*E1

Пусть идёт N удар, понятно, что СРАЗУ после удара дополнительная энергия наковальни будет

E1 + (N-1)*p2*E1 = E1*(1 + (N-1)*p2) 

(понятно, почему - 1 слагаемое - очередной удар - второе - то что осталось от предыдущих ударов)

Далее, чтобы нагреть тело на t градусов, нужно затратить энергию

Eн = q*M*t

Следовательно

q*M*t = E1*(1+(N-1)*p2) = p1*m*g*H*(1+(N-1)*p2)

Всё, мы получили уравнение относительно N. Можно его решить и получить N в общем виде. Сделаешь это, если захочешь, сама. А я просто подставлю значения

500*500*100 = 0,5*5000*9,8*5*(1+(N-1)*0.8)

25000000       = 122500*(1+(N-1)*0.8)

0.8*(N-1)+1 =204

0.8*(N-1)=203

N-1 = 254       (так как N - удар, нужно брать ближайшее сверзу целое число.

N = 255

2 случай

ОСТАЁТСЯ в смысле "от энергии, полученной от всех предыдущих ударов" 

В рамках предыдущих обозначений, энергия, которую накопит наковальня СРАЗУ после N удара будет

En = E1 + p2*E(n-1)             [ n и (n-1) - это индексы при E]

И мы получили для нахождения Еn рекуррентную формулу, то есть разностное уравнение. Стандартный метод решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами - это искать решение в виде многочлена. После того, как внимательно проведёшь все вычисления, получишь

En = E1*(1+ p2 + p2^2 +p2^3 +p2^4 +...+p2^N) = E1*(1-p2^(N+1))/(1-p)

Дальше то же самое

q*M*t = En, но уравнение относительно N несколько сложнее.

Подставим значения

500*500*100 = 0,5*5000*9,8*5*(1-0,8^(N+1))/0,2

1-0,8^(N+1) = 0,2*204=40,8

0,8^(N+1) = -39,8

Это уравнение не имеет решения, поэтому при заданных исходных данных второй процесс невозможен, то есть наковальня НИКОГДА не нагреется до 100 градусов!

Вот и всё.

Конечно, 2 толкование, по всей видимости, не предполагалось авторами, но оно реально существует и при каких-то исходных данных имеет место быть. Можешь сама поисследовать его. (то есть условия существования решения уравнения 2 в общем случае. Это хорошая тренировка по математике-физике).

Как вариант, я мог допустить какие-то арифметические описки-ошибки, перепроверь, если не сложно, как рассуждения, так и вычисления.

Успехов!