Привет). Помогите с решением.Однородный диск радиусом R=0,5 м катится без проскальзывания со скоростью u=2 м/с. Найти скорость точек диска A, B, C, D, E.

+ 0 -

StranzDmitry2001

09 марта 2015 г., 4:51:52 (9 лет назад)

Основная идея этой задачи состоит буквально в следующем:
1. Мгновенный центр вращения в каждый момент времени - точка касания диска и земли (действительно, относительно земли только она остается в покое, пусть даже на бесконечно маленький промежуток времени).
2. Диск вращается твердотельно, т.е. угловые скорости всех точек диска равны между собой.
Итак, в данный момент времени (который на картинке), качение диска можно эквивалентно заменить на его вращение вокруг точки А. Пишем:
(определение)
Поскольку нас волнует только модуль скорости и диск движется только в одной плоскости, на векторное произведение мы можем спокойно забить и писать уравнения для модуля поступательной скорости:
,
здесь r - расстояние от центра вращения до точки, в которой нужно посчитать скорость.
Итак, 
для центра: 
для т. С: 
для т-к B и D: 
С точкой Е чуть-чуть сложнее.
Заметим, что треугольник AOE - равнобедренный, тогда сторона AE равно радиусу диска. Таким образом, .
Отвечая на второй вопрос, потребуем, чтобы поступательная скорость движения некоторых точек диска была равна скорости центра:

Теперь заметим, что в левой части скорость обязана быть постоянной (по условию) и в правой части угловая скорость также постоянная (так как диск - твердое тело). В таком случае, и радиус тоже должен быть постоянным и равным радиусу диска (). 
Теперь становится очевидным, что геометрическое место точек диска, движущихся со скоростью его центра - это дуга окружности радиусом, равным радиусу диска с центром в точке его касания с землей и, как легко показать, величиной в 120 градусов.